Czy macierz jest podobna do swojej odwrotności?

2024 Autor: Miles Stephen | [email protected]. Ostatnio zmodyfikowany: 2023-12-15 23:39

Pomyśl tylko o 2x2 matryca to jest podobny do jego odwrotności bez przekątnych wpisów o wartości 1 lub -1. Przekątna matryce zrobi. Więc A i odwrotność z A są podobny , więc ich wartości własne są takie same. jeśli jedną z wartości własnych A jest n, wartość własną jego odwrotność będzie 1/n.

Zapytany również, czy macierz jest podobna do jej transpozycji?

Dowolny kwadrat matryca nad polem jest podobny do jego transpozycji i dowolny kwadratowy kompleks matryca jest podobny do symetrycznego kompleksu matryca.

Podobnie, czy wszystkie macierze odwracalne są podobne? Jeśli A i B są podobny oraz odwracalny , to A–1 i B–1 są podobny . Dowód. Odkąd wszystko ten matryce są odwracalny , możemy przyjąć odwrotność obu stron: B–1 = (P–1AP)–1 = P–1A–1(P–1)–1 = P–1A–1P, więc A–1 i B–1 są podobny . Jeśli A i B są podobny , więc są Ak i Bk dla dowolnego k = 1, 2,.

Czy w związku z tym matryca może być do siebie podobna?

To znaczy, Any matryca jest podobny do siebie : I−1AI=A. Jeśli A jest podobny do B, to B jest podobny do A: jeśli B=P−1AP, to A=PBP−1=(P−1)−1BP−1. Jeśli A jest podobny do B przez B=P−1AP, a C to podobny do B przez C=Q−1BQ, wtedy A jest podobny do C: C=Q−1P−1APQ=(PQ)−1APQ.

Co to znaczy, że macierze są podobne?

W algebrze liniowej dwa n-na-n matryce A i B nazywają się podobny, jeśli istnieje odwracalny n-by-n matryca P takie, że. Podobne macierze przedstawiają tę samą mapę liniową w dwóch (prawdopodobnie) różnych bazach, gdzie P jest zmianą bazy matryca.